Chính thường phấn đấu cho một loại phân loại hoàn toàn (hoặc danh sách) của một quan niệm toán học. Trong bối cảnh của các nhóm hữu hạn, mục tiêu này dẫn đến toán học khó khăn. Theo định lý của Lagrange, các nhóm hữu hạn của đơn đặt hàng p, một số prime, nhất định là cyclic (Abel) nhóm zp. Các nhóm đặt hàng p2 cũng có thể được hiển thị để trở thành Abel, một tuyên bố mà không generalize để đặt hàng p3 là nhóm không Abel d4 của đơn đặt hàng 8 = 23 chương trình trên. Hệ thống đại số máy tính có thể được sử dụng để liệt kê các nhóm nhỏ, nhưng không có phân loại nào của tất cả các nhóm hữu hạn. Q ['] Một bước trung cấp là phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn. R ['] Một nhóm nontrivial được gọi là đơn giản nếu chỉ có nhóm bình thường là nhóm tầm thường và nhóm chính nó. s ['] Định lý Jordan-Hölder cho thấy các nhóm đơn giản hữu hạn như các khối tòa nhà cho tất cả các nhóm hữu hạn. Danh sách tất cả các nhóm đơn giản hữu hạn là một thành tựu lớn trong lý thuyết nhóm đương đại. 1998 lĩnh vực huy chương người chiến thắng Richard Định đã thành công trong việc chứng minh những lậu lậu kinh dị, một mối quan hệ bất ngờ và sâu sắc giữa nhóm sporadic đơn giản hữu hạn lớn nhất-nhóm quái vật chức năng, một mảnh phân tích phức tạp cổ điển, và lý thuyết chuỗi, một lý thuyết được cho là thống nhất mô tả của nhiều hiện tượng vật lý.
Điều gì định nghĩa các nhóm hữu hạn của đơn đặt hàng p, một số prime, như là nhất thiết phải cyclic (Abel) nhóm zp?
Định lý của Lagrange