Các nhóm cũng được áp dụng trong nhiều khu vực toán học khác. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra bởi các nhóm liên quan đến họ và nghiên cứu các tính năng của các nhóm tương ứng. Ví dụ, Henri Poincaré đã thành lập những gì bây giờ được gọi là topo topo bằng cách giới thiệu nhóm cơ bản. Theo ý nghĩa của sự kết nối này, các tính năng topo như gần và liên tục dịch thành các tính năng của các nhóm. Tôi ['] Ví dụ, các yếu tố của nhóm cơ bản được đại diện bởi vòng lặp. Hình ảnh thứ hai ở bên phải cho thấy một số vòng lặp trong một máy bay trừ một điểm. Vòng lặp màu xanh được coi là null-homotopic (và không liên quan), bởi vì nó có thể liên tục bị thu nhỏ lại cho một điểm. Sự hiện diện của cái lỗ ngăn chặn vòng lặp cam từ bị thu nhỏ lại đến một điểm. Nhóm cơ bản của máy bay với một điểm bị xóa hóa ra là những vòng xoay vô hạn, được tạo ra bởi vòng lặp cam (hoặc bất kỳ vòng lặp nào khác du lịch một lần xung quanh lỗ). Lối này, nhóm cơ bản phát hiện ra lỗ.
Điều gì đại diện cho các yếu tố của nhóm cơ bản?
vòng lặp