Một nhóm được gọi là hữu hạn nếu nó có một số yếu tố hữu hạn. Số lượng các yếu tố được gọi là đơn đặt hàng của nhóm. Một lớp học quan trọng là sinh nhật của các nhóm đối xứng, các nhóm của permutations của N. Ví dụ, nhóm đối xứng trên 3 chữ S3 là nhóm bao gồm tất cả các khả năng có thể của ba chữ ABC, tức là chứa các yếu tố ABC, ACB,..., lên đến cba, tổng cộng 6 (hoặc 3 factorial) các yếu tố. Lớp học này là cơ bản trong khi bất kỳ nhóm hữu hạn nào có thể được thể hiện như là một nhóm phụ của một sinh nhật nhóm đối xứng cho một số nguyên phù hợp N (Định lý của Cayley). Song song với nhóm xứng của quảng trường trên,  S3 cũng có thể được giải thích như là nhóm xứng của một tam giác Tweedie.
Loại lớp nào có một nhóm hữu hạn có thể được thể hiện như một nhóm phụ của một nhóm đối xứng?
cơ bản