Trong số đại số trừu tượng, nhiều cấu trúc chung được xác định bằng cách thư giãn một số trong số những người có thể xác định một nhóm. Ví dụ, nếu yêu cầu rằng mọi yếu tố đều có một nghịch đảo bị loại bỏ, kết cấu số lượng có thể được gọi là một monoid. Những con số tự nhiên N (bao gồm 0) dưới hình thức một monoid, như là các nguyên số nonzero dưới phép nhân (Z ∖ {0}, ·), xem ở trên. Có một phương pháp tổng hợp để chính thức thêm inverses vào các yếu tố cho bất kỳ (Abel) monoid, nhiều giống như (Q ∖ {0}, ·) có nguồn gốc từ (Z ∖ {0}, ·), được biết đến với tư cách là nhóm Grothendieck. Groupoids tương tự với các nhóm ngoại trừ việc thành phần A • b không cần phải được xác định cho tất cả các A và B. Họ xuất hiện trong nghiên cứu của các hình thức đối xứng phức tạp hơn, thường xuyên trong các cấu trúc topo và phân tích, như là các groupoid cơ bản hoặc stacks. Cuối cùng, nó có thể làm cho bất kỳ khái niệm nào trong những khái niệm này bằng cách thay thế chiến dịch nhị phân với một sự tùy tiện n-arry một (tức là một chiến dịch nhận và tranh luận). Với sự kết hợp phù hợp của nhóm nạn điều này cung cấp cho một nhóm n-arry. Bảng cung cấp một danh sách các nhóm có nhiều cấu trúc.
Phương pháp nào chính thức bổ sung các yếu tố cho các yếu tố cho bất kỳ monoid nào?
nhóm Grothendieck