
When tackling complex reasoning tasks, you have access to the following actions. Use them as needed to progress through your thought process.

[ASSESS]

[ADVANCE]

[VERIFY]

[SIMPLIFY]

[SYNTHESIZE]

[PIVOT]

[OUTPUT]

You should strictly follow the format below:

[ACTION NAME]

# Your action step 1

# Your action step 2

# Your action step 3

...

Next action: [NEXT ACTION NAME]


system
Adva van egy kör, melynek sugara \(r\), s mely \(A\) pontban érinti az \(X X\) egyenest. Ezen egyenesnek egy tetszés szerinti \(P\) pontjából a körhöz megrajzoljuk a \(P B\) érintőt; \(B\)-t \(A Z\)-re vetítve, kapjuk \(H\) pontot. Végre még megrajzoljuk az \(A B\) és \(P H\) egyeneseket.

1. Mutassuk meg, hogy ha az egész idom \(A Z\) körül forog, úgy a \(P A M B\) idom és az \(A P H\) háromszög, továbbá az \(A M B H\) idom s a \(P B H\) háromszög forgása által keletkező két-két test köbtartalma egyenlő.

2. Mekkorának kell lennie a \(P A=x\) távolságnak, hogy a \(P A M B\) és a \(P B H\) idomok forgása által keletkező testek térfogatainak viszonya egy adott \(n\) számmal legyen egyenlő? Mekkora \(n\) minimuma? Mekkora \(x\), ha \(n=\frac{4}{3}\) ?

3. Ha \(I\) pontból \(A Z\)-re merőlegest rajzolunk, mely a kört \(M\) pontban metszi, úgy az \(I Q\) és \(M Q\) távolságok aránya állandó. Határozzuk meg \(I\) pontnak mértani helyét. \(P\) pontnak mely fekvése mellett lesz \(I Q\) maximum?

Present the answer in LaTex format: \boxed{Your answer}
user